ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Перенесём $\sqrt{3}{\sin }^{2}x$ в левую часть и вынесем $\sqrt{3}$ за скобки:

$$2\sin x{\cos }^{2}x+\sqrt{3}-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\iff 2\sin x{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\left(1-{\sin }^{2}x\right)=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, поэтому $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$. Получаем

$$2\sin x{\cos }^{2}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\cos }^{2}x=0,\\ 2\sin x+\sqrt{3}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Уравнение $\cos x=0$ даёт $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхнюю и нижнюю точки окружности.

Уравнение $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ даёт две серии: $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ (точка IV четверти) и $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ (точка III четверти), $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$. Число $\frac{7\pi }{2}$ отвечает нижней точке окружности, число $5\pi$ — левой. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую ($4\pi$) и верхнюю ($\frac{9\pi }{2}$) до левой и покрывает IV, I и II четверти.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают нижняя точка $\frac{7\pi }{2}$ (левый конец) и верхняя $4\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{9\pi }{2}$: соседние значения $\frac{5\pi }{2}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{11\pi }{2}>5\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только точка IV четверти $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$: соседние значения $\frac{5\pi }{3}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>5\pi$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку III четверти, которую дуга не покрывает: $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{16\pi }{3}>5\pi$.

На отрезке лежат $\frac{7\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{3}$, $\frac{9\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{2}$; $\frac{11\pi }{3}$; $\frac{9\pi }{2}$.