ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Преобразуем каждый множитель. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ по формуле приведения.

Синус разности распишем по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{4}-\cos x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right).$$

Тогда второе слагаемое уравнения равно

$$\sqrt{2}\cdot \sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)=\sin x\left(\sin x-\cos x\right)={\sin }^{2}x-\sin x\cos x,$$

так как $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x-\sin x\cos x=0\iff \sin x\cos x+{\sin }^{2}x=0\iff \sin x\left(\cos x+\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x+\cos x=0.\end{array}$$

Первое уравнение: $\sin x=0$, $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение — однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, ведь ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, на решениях $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x+1=0\iff \mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Число $-4\pi$ отвечает правой точке окружности, число $-\frac{5\pi }{2}$ — нижней. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю ($-\frac{7\pi }{2}$) и левую ($-3\pi$) до нижней и покрывает I, II и III четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую и левую точки окружности — обе на дуге. Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: в IV четверти (как $-\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (как $\frac{3\pi }{4}$). На дугу попадает только точка II четверти.

Найдём соответствующие числа: правая точка — $-4\pi$ (левый конец отрезка), левая — $-4\pi +\pi =-3\pi$, точка II четверти — $-4\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{13\pi }{4}$.

Проверим соседние значения. Для серии $x=\pi k$: $-5\pi <-4\pi$ и $-2\pi >-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$: $-\frac{17\pi }{4}<-\frac{16\pi }{4}=-4\pi$ и $-\frac{9\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$. Все они вне отрезка.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$; $-\frac{13\pi }{4}$; $-3\pi$.