ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Логарифм определён только при положительном аргументе, поэтому ОДЗ: $\sin 2x>0$ и $\sqrt{3}\cos x>0$.

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает (основание $3>1$), поэтому каждое своё значение принимает ровно при одном $t$: при положительных $a$ и $b$ равенство ${\log }_{3}a={\log }_{3}b$ равносильно $a=b$. Если аргументы равны, то достаточно потребовать положительность одного из них — второй равен ему и тоже будет положителен. Поэтому уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\sin 2x=\sqrt{3}\cos x,\\ \sqrt{3}\cos x>0.\end{array}$$

Неравенство $\sqrt{3}\cos x>0$ равносильно $\cos x>0$. В уравнении распишем синус двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и перенесём всё в левую часть:

$$\{\begin{array}{l}2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0,\\ \cos x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\cos x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0,\\ \cos x>0.\end{array}$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Множитель $\cos x$ по второму условию системы положителен и нулю не равен, поэтому остаётся $2\sin x-\sqrt{3}=0$:

$$\{\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos x>0.\end{array}$$

Уравнение $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет две серии решений:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

На единичной окружности это точки в I и II четвертях. Условие $\cos x>0$ выделяет правую половину окружности (абсцисса точки положительна).

Точка $\frac{\pi }{3}$ лежит в правой половине: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}>0$. Точка $\frac{2\pi }{3}$ — в левой: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}<0$, эта серия не подходит. Итак,

$$x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Число $-3\pi$ отвечает левой точке окружности, число $-\frac{3\pi }{2}$ — верхней. Длина отрезка $\frac{3\pi }{2}$, поэтому дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю ($-\frac{5\pi }{2}$) и правую ($-2\pi$) до верхней и покрывает III, IV и I четверти.

Точка серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ лежит в I четверти — она на дуге.

Найдём соответствующее число: правая точка дуги — это $-2\pi$, значит, искомый корень $-2\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5\pi }{3}$. Проверим соседние значения серии: $-\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{11\pi }{3}<-\frac{9\pi }{3}=-3\pi$ и $-\frac{5\pi }{3}+2\pi =\frac{\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$ — оба вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{3}$.