ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём обе степени к основанию $2$, пользуясь свойствами $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$:

$$4^{1-10x}=4\cdot 4^{-10x}=4\cdot {\left(2^2\right)}^{-10x}=4\cdot 2^{-20x}=4\cdot {\left(2^{-10x}\right)}^2,$$

$$32^{0,4-2x}={\left(2^5\right)}^{0,4-2x}=2^{5\cdot (0,4-2x)}=2^{2-10x}=4\cdot 2^{-10x}.$$

Уравнение принимает вид

$$4\cdot {\left(2^{-10x}\right)}^2-29\cdot 4\cdot 2^{-10x}+400=0.$$

Разделим обе части на $4$:

$${\left(2^{-10x}\right)}^2-29\cdot 2^{-10x}+100=0.$$

Сделаем замену $t=2^{-10x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем квадратное уравнение

$$t^2-29t+100=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=29^2-4\cdot 100=841-400=441=21^2.$$

Тогда

$$t_1=\frac{29-21}{2}=4,t_2=\frac{29+21}{2}=25.$$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Сделаем обратную замену.

Если $t=4$, то $2^{-10x}=2^2$. Функция $y=2^u$ монотонна, поэтому степени с одинаковым основанием равны только при равных показателях: $-10x=2$, откуда $x=-0,2$.

Если $t=25$, то по определению логарифма $-10x={\log }_{2}25$. По свойству логарифма степени ${\log }_{2}25={\log }_2{5}^2=2{\log }_{2}5$, поэтому

$$x=-\frac{2{\log }_{2}5}{10}=-\frac{1}{5}{\log }_{2}5.$$

б) Корень $x=-0,2$ лежит на отрезке $[-0,5;0]$, так как $-0,5⩽-0,2⩽0$.

Для корня $x=-\frac{1}{5}{\log }_{2}5$ нужно проверить двойное неравенство. Умножим его на $-5$, поменяв знаки неравенства:

$$-0,5⩽-\frac{1}{5}{\log }_{2}5⩽0\iff 0⩽{\log }_{2}5⩽2,5.$$

Логарифм по основанию $2>1$ возрастает, поэтому ${\log }_{2}5>{\log }_{2}1=0$ — левая часть верна.

Для правой части запишем $2,5={\log }_2{2}^{2,5}$ и сравним аргументы: $2^{2,5}=2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{2^5}=\sqrt{32}$. Оба числа $5$ и $\sqrt{32}$ положительны, поэтому сравним их квадраты:

$$5^2=25<32={\left(\sqrt{32}\right)}^2.$$

Значит, $5<\sqrt{32}=2^{2,5}$ и ${\log }_{2}5<2,5$. Двойное неравенство выполнено, и корень $x=-\frac{1}{5}{\log }_{2}5$ тоже лежит на отрезке.

Ответ: а) $-0,2$; $-\frac{1}{5}{\log }_{2}5$; б) $-\frac{1}{5}{\log }_{2}5$; $-0,2$.