ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) В показателях стоит $\sqrt{x}$, поэтому уравнение имеет смысл только при $x⩾0$. Показательная функция определена при любом показателе, других ограничений нет.

Выделим в каждом слагаемом множитель $5^x$. По свойству степени $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$:

$$5^{x+\sqrt{x}-1}=5^x\cdot 5^{\sqrt{x}-1},5^{x-\sqrt{x}+1}=5^x\cdot 5^{-(\sqrt{x}-1)}=\frac{5^x}{5^{\sqrt{x}-1}},5^{x+1}=5\cdot 5^x.$$

Уравнение принимает вид

$$5^x\cdot 5^{\sqrt{x}-1}+6\cdot \frac{5^x}{5^{\sqrt{x}-1}}-5\cdot 5^x=0.$$

Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $5^x>0$, и деление обеих частей на $5^x$ — равносильный переход:

$$5^{\sqrt{x}-1}+\frac{6}{5^{\sqrt{x}-1}}-5=0.$$

Сделаем замену $t=5^{\sqrt{x}-1}$, где $t>0$. Получаем

$$t+\frac{6}{t}-5=0.$$

Умножим обе части на $t>0$ (при $t\ne 0$ это равносильный переход):

$$t^2-5t+6=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, ищем два числа с суммой $5$ и произведением $6$: это $t_1=2$ и $t_2=3$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Сделаем обратную замену. Если $t=2$, то по определению логарифма

$$5^{\sqrt{x}-1}=2\iff \sqrt{x}-1={\log }_{5}2\iff \sqrt{x}={\log }_{5}5+{\log }_{5}2={\log }_{5}10.$$

Здесь мы записали $1={\log }_{5}5$ и воспользовались формулой суммы логарифмов ${\log }_{a}b+{\log }_{a}c={\log }_a(bc)$.

Логарифм по основанию $5>1$ возрастает, поэтому ${\log }_{5}10>{\log }_{5}5=1>0$. Обе части уравнения $\sqrt{x}={\log }_{5}10$ неотрицательны, значит, возведение в квадрат равносильно:

$$x={\left({\log }_{5}10\right)}^2={\log }_5^{2}10.$$

Если $t=3$, то аналогично

$$5^{\sqrt{x}-1}=3\iff \sqrt{x}=1+{\log }_{5}3={\log }_{5}15\iff x={\log }_5^{2}15,$$

причём ${\log }_{5}15>{\log }_{5}5=1>0$, так что возведение в квадрат снова равносильно.

Оба найденных значения неотрицательны, поэтому удовлетворяют ограничению $x⩾0$.

б) Оба корня неотрицательны. На промежутке $x⩾0$ функция $y=\sqrt{x}$ возрастает, поэтому

$$1⩽x⩽2,56\iff \sqrt{1}⩽\sqrt{x}⩽\sqrt{2,56}\iff 1⩽\sqrt{x}⩽1,6.$$

Значит, достаточно сравнить с числами $1$ и $1,6$ значения $\sqrt{x}$, то есть ${\log }_{5}10$ и ${\log }_{5}15$.

Левая граница: выше уже показано, что ${\log }_{5}10>1$ и ${\log }_{5}15>1$.

Правая граница: запишем $1,6=\frac{8}{5}={\log }_5{5}^{\frac{8}{5}}$, где $5^{\frac{8}{5}}=5\cdot 5^{\frac{3}{5}}$. Логарифм по основанию $5>1$ возрастает, поэтому сравнение логарифмов равносильно сравнению их аргументов.

Сравним $10$ и $5\cdot 5^{\frac{3}{5}}$. Разделим оба числа на $5$ и сравним $2$ и $5^{\frac{3}{5}}$. Оба числа положительны, а функция $y=u^5$ при $u>0$ возрастает, поэтому можно сравнить пятые степени:

$$2^5=32<125=5^3={\left(5^{\frac{3}{5}}\right)}^5.$$

Значит, $2<5^{\frac{3}{5}}$, то есть $10<5^{\frac{8}{5}}$ и ${\log }_{5}10<1,6$. Итак, $1<{\log }_{5}10<1,6$, и корень $x={\log }_5^{2}10$ лежит на отрезке $[1;2,56]$.

Сравним $15$ и $5\cdot 5^{\frac{3}{5}}$, то есть $3$ и $5^{\frac{3}{5}}$. Снова сравним пятые степени:

$$3^5=243>125={\left(5^{\frac{3}{5}}\right)}^5.$$

Значит, $3>5^{\frac{3}{5}}$, то есть $15>5^{\frac{8}{5}}$ и ${\log }_{5}15>1,6$. Тогда ${\log }_5^{2}15>2,56$, и этот корень на отрезок не попадает.

Ответ: а) ${\log }_5^{2}10$; ${\log }_5^{2}15$; б) ${\log }_5^{2}10$.