ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём левую часть к основанию 7. Так как $\frac{1}{49}=7^{-2}$, по свойству степени ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$ получаем

$${\left(\frac{1}{49}\right)}^{\sin x}={\left(7^{-2}\right)}^{\sin x}=7^{-2\sin x}.$$

Уравнение принимает вид

$$7^{-2\sin x}=7^{2\sin 2x}.$$

Функция $y=7^s$ строго возрастает, поэтому степени с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны показатели:

$$-2\sin x=2\sin 2x\iff -\sin x=\sin 2x.$$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и перенесём всё в одну часть:

$$2\sin x\cos x+\sin x=0\iff \sin x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $-4\pi$ до $-\frac{5\pi }{2}$ и найдём на ней точки серий.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-4\pi$ и $-3\pi$: соседние значения $-5\pi <-4\pi$ и $-2\pi >-\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{10\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{16\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{4\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{8\pi }{3}$, так как $-\frac{8}{3}=-\frac{16}{6}<-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}$: соседние значения $-\frac{14\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{2\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат корни $-4\pi$, $-\frac{10\pi }{3}$, $-3\pi$, $-\frac{8\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$, $-\frac{10\pi }{3}$, $-3\pi$, $-\frac{8\pi }{3}$.