ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$, поэтому $-\sqrt{2}\sin (x+\pi )=\sqrt{2}\sin x$. В уравнении остаётся синус, поэтому косинус двойного угла запишем через синус: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Получаем

$$1-2{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin x-1=0\iff \sqrt{2}\sin x-2{\sin }^{2}x=0\iff \sin x\left(\sqrt{2}-2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $-\frac{7\pi }{2}$ до $-2\pi$ и найдём на ней точки серий.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ и $-2\pi$: соседние значения $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{4}>-2\pi$.

Из серии $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{13\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{21\pi }{4}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{4}>-2\pi$.

На отрезке лежат корни $-\frac{13\pi }{4}$, $-3\pi$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{4}$, $-3\pi$, $-2\pi$.