ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Приведём все степени к основаниям 3 и 2, пользуясь свойствами степеней $a^{m+n}=a^m\cdot a^n$ и $(ab{)}^x=a^x{b}^x$:

$$3\cdot 9^{x-0,5}=3\cdot \frac{9^x}{9^{0,5}}=3\cdot \frac{9^x}{3}=3^{2x},6^x=3^x\cdot 2^x,3\cdot 4^{x+1}=12\cdot 4^x=12\cdot 2^{2x}.$$

Уравнение принимает вид

$$3^{2x}-7\cdot 3^x\cdot 2^x+12\cdot 2^{2x}=0.$$

Это однородное уравнение второй степени относительно $3^x$ и $2^x$: в каждом слагаемом суммарная степень равна двум. Разделим обе части на $2^{2x}=4^x>0$ — это равносильный переход, так как делим на положительное число:

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-7\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^x+12=0.$$

Сделаем замену $t={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$, где $t>0$:

$$t^2-7t+12=0.$$

По теореме Виета сумма корней равна 7, произведение равно 12, откуда $t_1=3$, $t_2=4$. Оба значения положительны.

Сделаем обратную замену. По определению логарифма:

$${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=3\iff x={\log }_{1,5}3;{\left(\frac{3}{2}\right)}^x=4\iff x={\log }_{1,5}4.$$

б) Отберём корни на отрезке $[2;3]$. Запишем концы отрезка в виде логарифмов по основанию $1,5$:

$$2={\log }_{1,5}1,5^2={\log }_{1,5}2,25,3={\log }_{1,5}1,5^3={\log }_{1,5}3,375.$$

Основание $1,5>1$, поэтому логарифм возрастает: большему аргументу соответствует большее значение. Так как

$$2,25<3<3,375<4,$$

то

$$2<{\log }_{1,5}3<3<{\log }_{1,5}4.$$

Значит, корень ${\log }_{1,5}3$ лежит на отрезке, а корень ${\log }_{1,5}4$ больше 3 и не подходит.

Ответ: а) ${\log }_{1,5}3$; ${\log }_{1,5}4$; б) ${\log }_{1,5}3$.