ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

В уравнении уже есть ${\cos }^{2}x$, поэтому косинус двойного угла удобно записать как $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Раскроем скобки:

$$\sin x\left(2{\cos }^{2}x-1\right)-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sin x=0\iff 2\sin x{\cos }^{2}x-\sin x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x+\sin x=0.$$

Слагаемые $-\sin x$ и $\sin x$ взаимно уничтожаются:

$$2\sin x{\cos }^{2}x-\sqrt{3}{\cos }^{2}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Условие ${\cos }^{2}x=0$ равносильно $\cos x=0$:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ с помощью единичной окружности. Отрезку соответствует дуга длиной $\frac{3\pi }{2}$: от верхней точки окружности $\frac{5\pi }{2}$ через левую точку $3\pi$ и нижнюю точку $\frac{7\pi }{2}$ до правой точки $4\pi$.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}$: соседние значения $\frac{3\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}>4\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$, так как $\frac{7}{3}=\frac{14}{6}<\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{3}>4\pi$.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{8\pi }{3}$, так как $\frac{5}{2}=\frac{15}{6}<\frac{16}{6}=\frac{8}{3}<4$: соседние значения $\frac{2\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{14\pi }{3}>4\pi$.

На отрезке лежат корни $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{8\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{8\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{2}$.