ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем слагаемые. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. По формуле синуса разности, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)=2(\sin x-\cos x).$$

Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+2(\sin x-\cos x)-1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x-\cos x$. Возведём её в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$$t^2={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-2\sin x\cos x\Rightarrow 2\sin x\cos x=1-t^2.$$

Заметим также, что по той же формуле синуса разности $t=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$, поэтому $-\sqrt{2}⩽t⩽\sqrt{2}$.

Подставим в уравнение:

$$\left(1-t^2\right)+2t-1=0\iff 2t-t^2=0\iff t(2-t)=0.$$

Получаем $t=0$ или $t=2$. Значение $t=2$ не подходит, так как $2>\sqrt{2}$, то есть уравнение $\sin x-\cos x=2$ решений не имеет.

Остаётся $\sin x-\cos x=0$, то есть $\sin x=\cos x$. Если $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$ и равенство не выполняется, поэтому $\cos x\ne 0$ и на него можно разделить:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Можно решить и иначе — заменой $s=x-\frac{\pi }{4}$. Тогда $2x=2s+\frac{\pi }{2}$ и $\sin 2x=\sin \left(2s+\frac{\pi }{2}\right)=\cos 2s=1-2{\sin }^{2}s$. Уравнение превращается в

$$1-2{\sin }^{2}s+2\sqrt{2}\sin s-1=0\iff 2\sin s\left(\sqrt{2}-\sin s\right)=0.$$

Так как $\sin s⩽1<\sqrt{2}$, второй множитель в ноль не обращается, остаётся $\sin s=0$, то есть $s=\pi k$ и $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ — та же серия.

б) Отберём корни на отрезке $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $-5\pi$ до $-\frac{7\pi }{2}$ (её длина $\frac{3\pi }{2}$) и найдём на ней точки серии.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки. На дугу попадают значения $-\frac{19\pi }{4}$ (при $k=-5$) и $-\frac{15\pi }{4}$ (при $k=-4$). Соседние значения лежат вне отрезка: $-\frac{23\pi }{4}<-5\pi$ и $-\frac{11\pi }{4}>-\frac{7\pi }{2}$.

На отрезке лежат корни $-\frac{19\pi }{4}$ и $-\frac{15\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{4}$, $-\frac{15\pi }{4}$.