ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно, $1-{\sin }^{2}x⩾0$. Это верно при всех $x$, так как ${\sin }^{2}x⩽1$.

Упростим показатель первой степени. По основному тригонометрическому тождеству $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$, а $\sqrt{a^2}=|a|$:

$$\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=\sqrt{{\cos }^{2}x}=|\cos x|.$$

Уравнение принимает вид

$$49^{-|\cos x|}-49^{\cos x}=-\frac{48}{7}.$$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $\cos x<0$. Тогда $|\cos x|=-\cos x$, а $-|\cos x|=\cos x$, и левая часть равна

$$49^{\cos x}-49^{\cos x}=0.$$

Получаем неверное равенство $0=-\frac{48}{7}$, поэтому в этом случае решений нет.

Случай 2: $\cos x⩾0$. Тогда $|\cos x|=\cos x$, и уравнение принимает вид

$$49^{-\cos x}-49^{\cos x}=-\frac{48}{7}\iff \frac{1}{49^{\cos x}}-49^{\cos x}=-\frac{48}{7}.$$

Сделаем замену $t=49^{\cos x}$. В этом случае $0⩽\cos x⩽1$, а функция $y=49^s$ возрастает, поэтому $1⩽t⩽49$:

$$\frac{1}{t}-t=-\frac{48}{7}.$$

Умножим обе части на $7t>0$ — это равносильный переход:

$$7-7t^2=-48t\iff 7t^2-48t-7=0.$$

$$D=48^2+4\cdot 7\cdot 7=2304+196=2500=50^2,t_1=\frac{48+50}{14}=7,t_2=\frac{48-50}{14}=-\frac{1}{7}.$$

Значение $t_2=-\frac{1}{7}$ не подходит, так как $t⩾1$. Значение $t_1=7$ лежит на отрезке $[1;49]$. Сделаем обратную замену, записав $49=7^2$:

$$49^{\cos x}=7\iff 7^{2\cos x}=7^1\iff 2\cos x=1\iff \cos x=\frac{1}{2}.$$

Найденное значение удовлетворяет условию случая $\cos x⩾0$. Получаем

$$x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $\frac{5\pi }{2}$ до $4\pi$ и найдём на ней точки серий.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$, так как $\frac{7}{3}=\frac{14}{6}<\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{3}>4\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{11\pi }{3}$: соседние значения $\frac{5\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>4\pi$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{11\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{3}$.