ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Упростим левую часть. Косинус чётный, поэтому $\cos \left(2x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, а по формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)=\sin 2x$. Распишем синус двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x=\sqrt{3}\cos x.$$

Делить обе части на $\cos x$ нельзя: так потерялись бы корни, при которых $\cos x=0$. Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Отрезку соответствует дуга длиной $\frac{3\pi }{2}$: от левой точки окружности $\pi$ через нижнюю точку $\frac{3\pi }{2}$ и точку $2\pi$ до верхней точки $\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{2}$: соседние значения $\frac{\pi }{2}<\pi$ и $\frac{7\pi }{2}>\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{7\pi }{3}$, так как $\frac{7}{3}<\frac{5}{2}$: соседние значения $\frac{\pi }{3}<\pi$ и $\frac{13\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{2\pi }{3}<\pi$, а следующее значение $\frac{8\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат корни $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{2}$.