ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Упростим $\cos (x-\pi )$. Косинус чётный, поэтому $\cos (x-\pi )=\cos (\pi -x)$, а по формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x$. Заменим также ${\sin }^{2}x$ на $1-{\cos }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству, чтобы в уравнении осталась одна функция:

$$2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-3\cos x-3=0\iff -2{\cos }^{2}x-3\cos x-1=0\iff 2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+3t+1=0,D=9-8=1,t_1=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2},t_2=\frac{-3-1}{4}=-1.$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-1,\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Отрезку соответствует дуга длиной $\frac{3\pi }{2}$: от левой точки окружности $3\pi$ через нижнюю точку $\frac{7\pi }{2}$ и точку $4\pi$ до верхней точки $\frac{9\pi }{2}$.

Из серии $x=\pi +2\pi k$ на отрезок попадает только $3\pi$ (левый конец отрезка): соседние значения $\pi <3\pi$ и $5\pi >\frac{9\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{8\pi }{3}<3\pi$, а следующее значение $\frac{14\pi }{3}>\frac{9\pi }{2}$, так как $\frac{14}{3}=\frac{28}{6}>\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{10\pi }{3}$: соседние значения $\frac{4\pi }{3}<3\pi$ и $\frac{16\pi }{3}>\frac{9\pi }{2}$.

На отрезке лежат корни $3\pi$ и $\frac{10\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$, $\frac{10\pi }{3}$.