ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Распишем слагаемые. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. По формуле синуса суммы, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x+\cos x\right)=2(\sin x+\cos x).$$

Единицу запишем по основному тригонометрическому тождеству: $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+2(\sin x+\cos x)+{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=0.$$

Сгруппируем ${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$ — это полный квадрат $(\sin x+\cos x{)}^2$:

$$(\sin x+\cos x{)}^2+2(\sin x+\cos x)=0\iff (\sin x+\cos x)(\sin x+\cos x+2)=0.$$

Получаем совокупность

$$[\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0,\\ \sin x+\cos x=-2.\end{array}$$

Второе уравнение решений не имеет. По той же формуле синуса суммы $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, а это выражение не меньше $-\sqrt{2}$, и $-\sqrt{2}>-2$.

Решим первое уравнение: $\sin x=-\cos x$. Если $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$ и равенство не выполняется, поэтому $\cos x\ne 0$ и на него можно разделить:

$$\mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Можно решить и иначе — заменой $t=x+\frac{\pi }{4}$. Тогда $2x=2t-\frac{\pi }{2}$ и $\sin 2x=\sin \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos 2t=2{\sin }^{2}t-1$. Уравнение превращается в

$$2{\sin }^{2}t-1+2\sqrt{2}\sin t+1=0\iff 2\sin t\left(\sin t+\sqrt{2}\right)=0.$$

Так как $\sin t⩾-1>-\sqrt{2}$, второй множитель в ноль не обращается, остаётся $\sin t=0$, то есть $t=\pi k$ и $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ — та же серия.

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{11\pi }{2};-4\pi \right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $-\frac{11\pi }{2}$ до $-4\pi$ (её длина $\frac{3\pi }{2}$) и найдём на ней точки серии.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки. На дугу попадают значения $-\frac{21\pi }{4}$ (при $k=-5$) и $-\frac{17\pi }{4}$ (при $k=-4$). Соседние значения лежат вне отрезка: $-\frac{25\pi }{4}<-\frac{11\pi }{2}$ и $-\frac{13\pi }{4}>-4\pi$.

На отрезке лежат корни $-\frac{21\pi }{4}$ и $-\frac{17\pi }{4}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{21\pi }{4}$, $-\frac{17\pi }{4}$.