ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$$1+\sin x\ne 0\iff \sin x\ne -1\iff x\ne -\frac{\pi }{2}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

На ОДЗ умножим обе части на $1+\sin x\ne 0$ — это равносильный переход. Справа получится разность квадратов, которую по основному тригонометрическому тождеству заменим на ${\cos }^{2}x$:

$$\cos x=(1-\sin x)(1+\sin x)=1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем $\cos x$:

$$\cos x-{\cos }^{2}x=0\iff \cos x(1-\cos x)=0.$$

Получаем систему с учётом ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=1,\end{array}\\ \sin x\ne -1.\end{array}$$

Уравнение $\cos x=0$ задаёт на единичной окружности две точки: верхнюю $\frac{\pi }{2}$ (там $\sin x=1$) и нижнюю $-\frac{\pi }{2}$ (там $\sin x=-1$). Нижняя точка запрещена ОДЗ, поэтому из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ остаётся только $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$.

Уравнение $\cos x=1$ даёт $x=2\pi k$. В этих точках $\sin x=0\ne -1$, так что все они подходят.

Итак, решения уравнения: $x=2\pi k$ и $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ двойными неравенствами.

Серия $x=2\pi n$:

$$2\pi ⩽2\pi n⩽\frac{7\pi }{2}\iff 1⩽n⩽\frac{7}{4}.$$

Подходит только $n=1$, то есть $x=2\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$:

$$2\pi ⩽\frac{\pi }{2}+2\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff \frac{3}{2}⩽2k⩽3\iff \frac{3}{4}⩽k⩽\frac{3}{2}.$$

Подходит только $k=1$, то есть $x=\frac{5\pi }{2}$.

Тот же результат видно на единичной окружности: дуга от $2\pi$ до $\frac{7\pi }{2}$ содержит точки $2\pi$ и $\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$, $\frac{5\pi }{2}$.