ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: аргумент логарифма положителен.

$$x^2-24x>0\iff x(x-24)>0.$$

Решим неравенство методом интервалов: нули множителей $0$ и $24$, на крайних интервалах произведение положительно.

ОДЗ: $x\in (-\infty ;0)\cup (24;+\infty )$.

По определению логарифма ${\log }_{3}A=4$ означает $A=3^4=81$:

$$x^2-24x=81\iff x^2-24x-81=0.$$

$$D=24^2+4\cdot 81=576+324=900=30^2,x_1=\frac{24-30}{2}=-3,x_2=\frac{24+30}{2}=27.$$

Оба корня входят в ОДЗ: $-3<0$ и $27>24$. Это и не могло быть иначе: для найденных корней $x^2-24x=81>0$ автоматически.

б) Оценим концы отрезка $\left[{\log }_{2}0,1;12\sqrt{5}\right]$.

Левый конец. Основание $2>1$, поэтому логарифм возрастает. Так как $\frac{1}{16}<0,1<\frac{1}{8}$, то

$${\log }_2\frac{1}{16}<{\log }_{2}0,1<{\log }_2\frac{1}{8}\iff -4<{\log }_{2}0,1<-3.$$

Правый конец положителен: $12\sqrt{5}>0>-3$. Значит, корень $x=-3$ лежит на отрезке.

Сравним корень $27$ с правым концом $12\sqrt{5}$. Оба числа положительны, поэтому их можно сравнить по квадратам:

$${\left(12\sqrt{5}\right)}^2=144\cdot 5=720,27^2=729.$$

Так как $720<729$, то $12\sqrt{5}<27$: корень $27$ лежит правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $-3;27$; б) $-3$.