ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. Заменим ${\sin }^{2}x$ на $1-{\cos }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству, чтобы в уравнении осталась одна функция:

$$2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\cos x-1=0\iff -2{\cos }^{2}x-\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+t-1=0,D=1+8=9,t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2},\\ \cos x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\pi +2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ с помощью единичной окружности. Отрезку соответствует дуга длиной $\frac{3\pi }{2}$: от левой точки окружности $-\pi$ через нижнюю точку $-\frac{\pi }{2}$ и точку $0$ до верхней точки $\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=\pi +2\pi k$ на отрезок попадает только $-\pi$ (это левый конец отрезка): соседние значения $-3\pi <-\pi$ и $\pi >\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{5\pi }{3}<-\pi$ и $\frac{7\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{7\pi }{3}<-\pi$ и $\frac{5\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат корни $-\pi$, $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\pi +2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\pi$, $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$.