ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Упростим знаменатель по формуле приведения:

$$\sin (2x-\pi )=-\sin (\pi -2x)=-\sin 2x.$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{4{\sin }^{3}x-2\sin x}{-\sin 2x}=1.$$

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, то есть $\sin 2x\ne 0$. Так как $\sin 2x=2\sin x\cos x$, это условие означает, что одновременно $\sin x\ne 0$ и $\cos x\ne 0$, то есть $x\ne \frac{\pi m}{2}$, $m\in \mathbb{Z}$.

Дробь равна 1 тогда и только тогда, когда числитель равен знаменателю и знаменатель не равен нулю:

$$\{\begin{array}{l}4{\sin }^{3}x-2\sin x=-2\sin x\cos x,\\ \sin x\ne 0,\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

Разделим обе части уравнения на $2\sin x$ — это равносильный переход, так как $\sin x\ne 0$ по ОДЗ:

$$2{\sin }^{2}x-1=-\cos x.$$

Заменим ${\sin }^{2}x$ на $1-{\cos }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$2-2{\cos }^{2}x-1+\cos x=0\iff 2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $t=\cos x$:

$$2t^2-t-1=0,D=1+8=9,t_1=\frac{1+3}{4}=1,t_2=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Проверим каждое значение по ОДЗ.

Если $\cos x=1$, то $\sin x=0$ (это точки $x=2\pi k$), а это запрещено условием $\sin x\ne 0$: при таких $x$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Эти значения посторонние.

Если $\cos x=-\frac{1}{2}$, то $\cos x\ne 0$ и $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$, то есть ОДЗ выполнена. Получаем

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $-\frac{\pi }{2}-(-3\pi )=\frac{5\pi }{2}>2\pi$, поэтому отбор удобнее сделать двойными неравенствами.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-3\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{\pi }{2}.$$

Разделим на $\pi$ и вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей: $-\frac{11}{3}⩽2k⩽-\frac{7}{6}$. Разделим на 2:

$$-\frac{11}{6}⩽k⩽-\frac{7}{12}.$$

Единственное целое число в этом промежутке — $k=-1$, ему соответствует $x=\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{4\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-3\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{\pi }{2}.$$

Разделим на $\pi$ и прибавим $\frac{2}{3}$ ко всем частям: $-\frac{7}{3}⩽2k⩽\frac{1}{6}$. Разделим на 2:

$$-\frac{7}{6}⩽k⩽\frac{1}{12}.$$

Подходят $k=-1$ и $k=0$, им соответствуют $x=-\frac{2\pi }{3}-2\pi =-\frac{8\pi }{3}$ и $x=-\frac{2\pi }{3}$.

На отрезке лежат корни $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{4\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{8\pi }{3}$, $-\frac{4\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$.