ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Упростим каждое слагаемое. Косинус — чётная функция, поэтому

$$\cos (-2x)=\cos 2x.$$

По формуле приведения $\sin (x-\pi )=-\sin (\pi -x)=-\sin x$. Аналогично $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos x$, а при возведении в квадрат минус пропадает:

$${\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)={\cos }^{2}x.$$

Уравнение принимает вид

$$\cos 2x+\frac{\sin x}{\sqrt{2}}={\cos }^{2}x.$$

Распишем косинус двойного угла по формуле $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$ — тогда ${\cos }^{2}x$ сократится с правой частью:

$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\frac{\sin x}{\sqrt{2}}={\cos }^{2}x\iff -{\sin }^{2}x+\frac{\sin x}{\sqrt{2}}=0.$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Учтём, что $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{11\pi }{2};-4\pi \right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $-\frac{11\pi }{2}$ до $-4\pi$ и найдём на ней точки серий.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-5\pi$ и $-4\pi$: соседние значения $-6\pi <-\frac{11\pi }{2}$ и $-3\pi >-4\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{23\pi }{4}<-\frac{11\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{15\pi }{4}>-4\pi$.

Из серии $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{21\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{29\pi }{4}<-\frac{11\pi }{2}$ и $-\frac{13\pi }{4}>-4\pi$.

На отрезке лежат корни $-\frac{21\pi }{4}$, $-5\pi$, $-4\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{21\pi }{4}$, $-5\pi$, $-4\pi$.