ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) В уравнении нет дробей, корней и логарифмов, поэтому оно определено при всех $x$.

Выразим ${\sin }^{2}x$ через косинус по основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Тогда в уравнении останется только $\cos x$:

$$\sqrt{2}{\cos }^{3}x-\sqrt{2}\cos x+1-{\cos }^{2}x=0.$$

Сгруппируем первое слагаемое с четвёртым, а второе с третьим. Из первой пары вынесем ${\cos }^{2}x$, из второй — минус:

$${\cos }^{2}x\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)-\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)=0.$$

Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{2}\cos x-1$:

$$\left(\sqrt{2}\cos x-1\right)\left({\cos }^{2}x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\sqrt{2}\cos x-1=0,\\ {\cos }^{2}x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos x=\pm 1.\end{array}$$

Уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ даёт две серии: $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Условие $\cos x=\pm 1$ выполняется в двух точках единичной окружности — $0$ и $\pi$, то есть ровно там, где $\sin x=0$. Обе точки описываются одной серией $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Заметим, что к тому же результату можно прийти короче: вынести $\sqrt{2}\cos x$ из первых двух слагаемых исходного уравнения. Получим $\sqrt{2}\cos x\left({\cos }^{2}x-1\right)=-\sqrt{2}\cos x{\sin }^{2}x$, и уравнение примет вид ${\sin }^{2}x\left(1-\sqrt{2}\cos x\right)=0$.

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ с помощью единичной окружности: отметим дугу от $\frac{5\pi }{2}$ до $4\pi$ и найдём на ней точки найденных серий.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $3\pi$ и $4\pi$: соседние значения $2\pi <\frac{5\pi }{2}$ и $5\pi >4\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{9\pi }{4}<\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{17\pi }{4}>4\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{15\pi }{4}$: соседние значения $\frac{7\pi }{4}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{23\pi }{4}>4\pi$.

На отрезке лежат корни $3\pi$, $\frac{15\pi }{4}$, $4\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$, $\frac{15\pi }{4}$, $4\pi$.