ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Найдём область допустимых значений: под знаком логарифма должны стоять положительные числа.

$$\{\begin{array}{l}2-x>0,\\ x^4>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<2,\\ x\ne 0.\end{array}$$

Значит, ОДЗ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;2)$.

Приведём правую часть к основанию 5. Воспользуемся свойством ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$ и тем, что $x^4={\left(x^2\right)}^2$, где $x^2>0$ на ОДЗ:

$${\log }_{25}{x}^4={\log }_{5^2}{\left(x^2\right)}^2=\frac{2}{2}{\log }_5{x}^2={\log }_5{x}^2.$$

Писать здесь $2{\log }_{5}x$ нельзя: выражение ${\log }_{5}x$ определено только при $x>0$, и мы потеряли бы отрицательные корни. Квадрат $x^2$ положителен при любом $x\ne 0$, поэтому запись ${\log }_5{x}^2$ равносильна исходной на всей ОДЗ.

Уравнение принимает вид

$${\log }_5(2-x)={\log }_5{x}^2.$$

Логарифмическая функция по основанию $5>1$ возрастает, поэтому логарифмы двух положительных чисел равны тогда и только тогда, когда равны сами числа:

$$2-x=x^2\iff x^2+x-2=0.$$

По теореме Виета сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-2$, откуда $x=-2$ или $x=1$.

Проверим ОДЗ: оба числа меньше 2 и не равны нулю, значит, оба являются корнями уравнения.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[{\log }_9\frac{1}{82};{\log }_{9}8\right]$. Запишем числа $-2$ и $1$ в виде логарифмов по основанию 9:

$$-2={\log }_9\frac{1}{81},1={\log }_{9}9.$$

Основание $9>1$, поэтому функция $y={\log }_{9}t$ возрастает: большему аргументу соответствует большее значение. Так как

$$\frac{1}{82}<\frac{1}{81}<8<9,$$

то

$${\log }_9\frac{1}{82}<-2<{\log }_{9}8<1.$$

Значит, число $-2$ лежит на отрезке, а число $1$ находится правее его правого конца и не подходит.

Ответ: а) $-2;1$; б) $-2$.