а) Решите уравнение (log₂²(sin x)+log₂(sin x))/(2cos x+√3)=0. б)… — 14 задание ЕГЭ профиль

№14 Тригонометрия и логарифмы средняя развёрнутое

а) Решите уравнение $\frac{l o g _{2}^{2} ( s i n x ) + l o g _{2} ( s i n x )}{2 c o s x + 3} = 0$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0; \frac{3 π}{2}]$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и не равен нулю. Выпишем ограничения:

${sin x > 0, 2 cos x + 3 \neq = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ sin x > 0, cos x \neq = - \frac{3}{2} .$

Первое условие нужно, чтобы был определён логарифм, второе — чтобы знаменатель не обращался в нуль.

Найдём нули числителя. Вынесем общий множитель $lo g_{2} (sin x)$ :

$lo g_{2}^{2} (sin x) + lo g_{2} (sin x) = 0 \Leftrightarrow lo g_{2} (sin x) \cdot (lo g_{2} (sin x) + 1) = 0.$

Отсюда

$[lo g_{2} (sin x) = 0, lo g_{2} (sin x) = - 1 \Leftrightarrow [sin x = 2^{0} = 1, sin x = 2^{- 1} = \frac{1}{2} .$

Оба значения синуса положительны, так что условие $sin x > 0$ выполнено. Осталось проверить условие на косинус для каждой серии.

Уравнение $sin x = 1$ даёт $x = \frac{π}{2} + 2 π k$ . Здесь $cos x = 0 \neq = - \frac{3}{2}$ — серия подходит.

Уравнение $sin x = \frac{1}{2}$ даёт две серии. При $x = \frac{π}{6} + 2 π k$ (I четверть) $cos x = \frac{3}{2}$ — подходит. При $x = \frac{5 π}{6} + 2 π k$ (II четверть) $cos x = - \frac{3}{2}$ — знаменатель обращается в нуль, серия не подходит.

Значит, $x = \frac{π}{2} + 2 π k$ или $x = \frac{π}{6} + 2 π k$ , $k \in Z$ .

б) Длина отрезка $[0; \frac{3 π}{2}]$ равна $\frac{3 π}{2}$ , отберём корни на единичной окружности.

Отбор корней на единичной окружности

Начало отрезка $0$ — правая точка окружности, конец $\frac{3 π}{2}$ — нижняя точка. Дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю и левую до нижней, то есть проходит I, II и III четверти.

Серия $x = \frac{π}{2} + 2 π k$ — верхняя точка, на дуге это $\frac{π}{2}$ . Соседние значения $- \frac{3 π}{2} < 0$ и $\frac{5 π}{2} > \frac{3 π}{2}$ на отрезок не попадают.

Серия $x = \frac{π}{6} + 2 π k$ — точка в I четверти, на дуге это $\frac{π}{6}$ . Соседние значения $- \frac{11 π}{6} < 0$ и $\frac{13 π}{6} > \frac{3 π}{2}$ .

На отрезке лежат $\frac{π}{6}$ и $\frac{π}{2}$ .

Ответ: а) $\frac{π}{2} + 2 π k$ , $\frac{π}{6} + 2 π k$ , $k \in Z$ ; б) $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{2}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №14