ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение вида $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}f=g,\\ g⩾0,\end{array}$$

поскольку при $f=g$ и $g⩾0$ подкоренное выражение $f$ тоже неотрицательно. В нашем случае получаем систему

$$\{\begin{array}{l}2{\sin }^{2}x+10\sin x+2=\sin x+7,\\ \sin x+7⩾0.\end{array}$$

Второе условие выполняется при всех $x$: из $-1⩽\sin x⩽1$ следует $6⩽\sin x+7⩽8$. Поэтому уравнение равносильно уравнению

$$2{\sin }^{2}x+10\sin x+2=\sin x+7\iff 2{\sin }^{2}x+9\sin x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+9t-5=0,D=9^2-4\cdot 2\cdot (-5)=81+40=121=11^2,$$

$$t_{1,2}=\frac{-9\pm 11}{4},t_1=-5,t_2=\frac{1}{2}.$$

Значение $t=-5$ не подходит, так как $\sin x⩾-1$. Остаётся $\sin x=\frac{1}{2}$, откуда

$$x=\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{или}x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $-3\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю $-\frac{5\pi }{2}$ и правую $-2\pi$ до верхней, то есть проходит III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в I четверти: $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{23\pi }{6}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{6}>-\frac{3\pi }{2}$ на отрезок не попадают.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка во II четверти, дуга её не содержит: $-\frac{19\pi }{6}<-3\pi$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{6}>-\frac{3\pi }{2}$.

На отрезке лежит только $-\frac{11\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$.