ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: аргумент логарифма положителен, $x^2-4x>0$.

Запишем правую часть как логарифм по тому же основанию: $1={\log }_{5}5$. Логарифмическая функция по основанию $5$ строго возрастает, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов с учётом ОДЗ:

$${\log }_5\left(x^2-4x\right)={\log }_{5}5\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-4x=5,\\ x^2-4x>0.\end{array}$$

Если $x^2-4x=5$, то $x^2-4x>0$ выполнено автоматически, ведь $5>0$. Поэтому достаточно решить уравнение:

$$x^2-4x-5=0\iff (x-5)(x+1)=0\iff [\begin{array}{l}x=5,\\ x=-1.\end{array}$$

б) Нужно проверить, какие из чисел $-1$ и $5$ удовлетворяют двойному неравенству

$${\log }_{3}0,1⩽x⩽{\log }_{3}10.$$

Заметим, что ${\log }_{3}0,1={\log }_3\frac{1}{10}$. Запишем и корни как логарифмы по основанию $3$: $-1={\log }_3\frac{1}{3}$ и $5={\log }_3{3}^5={\log }_{3}243$.

Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает (основание $3>1$), поэтому сравнение логарифмов сводится к сравнению их аргументов.

Для $x=-1$: так как $\frac{1}{10}<\frac{1}{3}<10$, то

$${\log }_3\frac{1}{10}<{\log }_3\frac{1}{3}<{\log }_{3}10,$$

и корень $-1$ лежит на отрезке.

Для $x=5$: так как $243>10$, то ${\log }_{3}243>{\log }_{3}10$, то есть $5$ правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $-1$, $5$; б) $-1$.