ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех действительных $x$, ограничений нет.

Раскроем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

Тогда первое слагаемое левой части равно

$$8\cos x\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=4\sin x\cos x-4\sqrt{3}{\cos }^{2}x=2\sin 2x-4\sqrt{3}{\cos }^{2}x,$$

где мы воспользовались формулой синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$. Кроме того, $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид

$$2\sin 2x-4\sqrt{3}{\cos }^{2}x-4\sqrt{3}{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-8\sin 2x.$$

Вынесем $-4\sqrt{3}$ и применим основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:

$$2\sin 2x-4\sqrt{3}\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)=\sqrt{3}-8\sin 2x\iff 2\sin 2x-4\sqrt{3}=\sqrt{3}-8\sin 2x.$$

Перенесём слагаемые с $\sin 2x$ влево, числа вправо:

$$10\sin 2x=5\sqrt{3}\iff \sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решаем простейшее уравнение относительно $2x$ и делим на $2$ (период тоже делится на $2$):

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ 2x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{15\pi }{4};\frac{21\pi }{4}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $\frac{15\pi }{4}=4\pi -\frac{\pi }{4}$ — точка в IV четверти, конец $\frac{21\pi }{4}=5\pi +\frac{\pi }{4}$ — точка в III четверти. Дуга идёт против часовой стрелки от $\frac{15\pi }{4}$ через правую точку $4\pi$, верхнюю $\frac{9\pi }{2}$ и левую $5\pi$ до $\frac{21\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ — точки в I и III четвертях. На дуге: $4\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$ и $5\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{31\pi }{6}$. Второе значение подходит, так как $\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{4}$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ — тоже точки в I и III четвертях. На дуге только $4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}$; значение $5\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{16\pi }{3}$ уже за концом, так как $\frac{\pi }{3}>\frac{\pi }{4}$.

Проверим двойными неравенствами (делим на $\pi$ и вычитаем свободный член):

$$\frac{15}{4}⩽\frac{1}{6}+k⩽\frac{21}{4}\iff \frac{43}{12}⩽k⩽\frac{61}{12}\Rightarrow k=4;5,$$

$$\frac{15}{4}⩽\frac{1}{3}+k⩽\frac{21}{4}\iff \frac{41}{12}⩽k⩽\frac{59}{12}\Rightarrow k=4.$$

На отрезке лежат $\frac{25\pi }{6}$, $\frac{13\pi }{3}$, $\frac{31\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{25\pi }{6}$, $\frac{13\pi }{3}$, $\frac{31\pi }{6}$.