ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение вида $\sqrt{f}=\sqrt{g}$ равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}f=g,\\ g⩾0.\end{array}$$

Условие $f⩾0$ отдельно писать не нужно: при $f=g$ и $g⩾0$ оно выполнено само. Удобнее проверять неотрицательность более простого выражения $g=\cos x+11$.

Так как $\cos x⩾-1$, то $\cos x+11⩾10>0$ при всех $x$. Поэтому второе условие системы выполнено всегда, и уравнение равносильно уравнению

$$4{\cos }^{2}x+9\cos x+6=\cos x+11\iff 4{\cos }^{2}x+8\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+8t-5=0,D=64+80=144=12^2,$$

$$t_1=\frac{-8-12}{8}=-\frac{5}{2},t_2=\frac{-8+12}{8}=\frac{1}{2}.$$

Значение $t=-\frac{5}{2}<-1$ не подходит. Остаётся

$$\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую $-3\pi$ и нижнюю $-\frac{5\pi }{2}$ до правой, то есть проходит II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в I четверти, дуга её не содержит: $-\frac{11\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{3}>-2\pi$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в IV четверти: $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{7\pi }{3}$. Соседние значения $-\frac{13\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{3}>-2\pi$ на отрезок не попадают.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$.