ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: тангенс и дробь $\frac{3}{\cos x}$ определены при $\cos x\ne 0$.

Выразим тангенс через косинус: ${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$. Уравнение принимает вид

$$\frac{5\left(1-{\cos }^{2}x\right)}{{\cos }^{2}x}+\frac{3}{\cos x}+3=0.$$

Умножим обе части на ${\cos }^{2}x$. При условии $\cos x\ne 0$ это равносильный переход:

$$5-5{\cos }^{2}x+3\cos x+3{\cos }^{2}x=0\iff 2{\cos }^{2}x-3\cos x-5=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$ и $t\ne 0$:

$$2t^2-3t-5=0,D=9+40=49=7^2,t_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4},t_1=\frac{5}{2},t_2=-1.$$

Значение $t=\frac{5}{2}>1$ не подходит: косинус не превосходит $1$. Значение $t=-1$ подходит и не равно нулю, так что ограничение $\cos x\ne 0$ выполнено.

$$\cos x=-1\iff x=\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую и нижнюю точки до правой.

Серия $x=\pi +2\pi k$ — левая точка окружности, на дуге это $3\pi$. Проверим двойным неравенством:

$$\frac{5}{2}⩽1+2k⩽4\iff \frac{3}{4}⩽k⩽\frac{3}{2},$$

подходит только $k=1$, то есть $x=3\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $3\pi$.