ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: знаменатели не равны нулю, то есть $\sin x\ne 0$.

Заметим, что $\frac{1}{{\sin }^{2}x}={\left(\frac{1}{\sin x}\right)}^2$. Сделаем замену $t=\frac{1}{\sin x}$:

$$t^2-3t+2=0.$$

По теореме Виета сумма корней равна $3$, а произведение $2$, поэтому $t_1=1$, $t_2=2$.

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\frac{1}{\sin x}=1,\\ \frac{1}{\sin x}=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

В обоих случаях $\sin x\ne 0$, так что ограничение выполнено автоматически.

Уравнение $\sin x=1$ даёт $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Уравнение $\sin x=\frac{1}{2}$ даёт две серии: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ с помощью двойных неравенств: делим каждое на $\pi$, затем вычитаем свободный член и делим на $2$.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{1}{6}+2k⩽-1\iff -\frac{8}{3}⩽2k⩽-\frac{7}{6}\iff -\frac{4}{3}⩽k⩽-\frac{7}{12}.$$

Подходит $k=-1$, корень $\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{11\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{5}{6}+2k⩽-1\iff -\frac{10}{3}⩽2k⩽-\frac{11}{6}\iff -\frac{5}{3}⩽k⩽-\frac{11}{12}.$$

Подходит $k=-1$, корень $\frac{5\pi }{6}-2\pi =-\frac{7\pi }{6}$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽\frac{1}{2}+2k⩽-1\iff -3⩽2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{3}{2}⩽k⩽-\frac{3}{4}.$$

Подходит $k=-1$, корень $\frac{\pi }{2}-2\pi =-\frac{3\pi }{2}$.

Тот же отбор на единичной окружности: дуга от нижней точки $-\frac{5\pi }{2}$ против часовой стрелки до левой точки $-\pi$ проходит IV, I и II четверти. Верхняя точка $-\frac{3\pi }{2}$ и обе точки серий с $\sin x=\frac{1}{2}$ лежат на ней по одному разу.

На отрезке лежат $-\frac{11\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{7\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{7\pi }{6}$.