ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Обе части определены при всех действительных $x$, ограничений нет.

Упростим аргументы по формулам приведения:

$$\sin (x+\pi )=-\sin x,\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x.$$

Уравнение принимает вид

$${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}.$$

Приведём левую часть к основанию $7$. Так как $\frac{1}{49}=7^{-2}$, по свойству степени $(a^n{)}^m=a^{nm}$ получаем

$${\left(\frac{1}{49}\right)}^{-\sin x}={\left(7^{-2}\right)}^{-\sin x}=7^{2\sin x}.$$

Значит, $7^{2\sin x}=7^{2\sqrt{3}\cos x}$. Функция $y=7^t$ строго возрастает, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей:

$$2\sin x=2\sqrt{3}\cos x\iff \sin x=\sqrt{3}\cos x.$$

Это однородное уравнение первой степени. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но по основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ синус и косинус одного угла не обращаются в нуль одновременно. Значит, у решений $\cos x\ne 0$, и деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\frac{\sin x}{\cos x}=\sqrt{3}\iff \mathrm{tg}x=\sqrt{3}.$$

Отсюда $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Длина отрезка $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $3\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга идёт от левой точки против часовой стрелки через нижнюю $\frac{7\pi }{2}$ и правую $4\pi$ до верхней, то есть проходит III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки — в I и III четвертях. Обе лежат на дуге: в III четверти $3\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$, в I четверти $4\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}$. Соседние значения серии $\frac{7\pi }{3}<3\pi$ и $\frac{16\pi }{3}>\frac{9\pi }{2}$ на отрезок не попадают.

Ответ: а) $\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{13\pi }{3}$.