ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Обе части определены при всех действительных $x$, ограничений нет.

Так как $\frac{1}{81}=9^{-2}$, левая часть равна

$${\left(\frac{1}{81}\right)}^{\cos x}={\left(9^{-2}\right)}^{\cos x}=9^{-2\cos x}.$$

Получаем уравнение $9^{-2\cos x}=9^{2\sin 2x}$. Функция $y=9^t$ строго возрастает, поэтому равенство степеней равносильно равенству показателей:

$$-2\cos x=2\sin 2x\iff \sin 2x+\cos x=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\sin x\cos x+\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение на окружности даёт две точки — в IV и в III четвертях: $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Длина отрезка $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $-2\pi$ — правая точка окружности, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю $-\frac{3\pi }{2}$ и левую $-\pi$ до нижней, то есть проходит I, II и III четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки. На дуге это $-\frac{3\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{2}$ (конец отрезка, входит).

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в IV четверти, дуга её не содержит: соседние значения $-\frac{13\pi }{6}<-2\pi$ и $-\frac{\pi }{6}>-\frac{\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ — точка в III четверти, на дуге это $-\frac{5\pi }{6}$.

На отрезке лежат $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{5\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{2}$.