ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Корень $\sqrt{7\sin x}$ определён при $7\sin x⩾0$ и не равен нулю при $7\sin x\ne 0$. Вместе получаем ограничение

$$\sin x>0.$$

Найдём нули числителя. Так как $4=2^2$, то $4^{\sin 2x}={\left(2^2\right)}^{\sin 2x}=2^{2\sin 2x}$, и уравнение $4^{\sin 2x}-2^{2\sqrt{3}\sin x}=0$ принимает вид

$$2^{2\sin 2x}=2^{2\sqrt{3}\sin x}.$$

Функция $y=2^t$ строго возрастает, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей:

$$2\sin 2x=2\sqrt{3}\sin x\iff \sin 2x=\sqrt{3}\sin x.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{3}\sin x=0\iff \sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Учтём ограничение. Исходное уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}\sin x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0,\\ \sin x>0.\end{array}$$

При $\sin x>0$ первый множитель не равен нулю, поэтому система равносильна такой:

$$\{\begin{array}{l}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin x>0.\end{array}$$

Уравнение $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ даёт две серии $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$. В точках $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ (I четверть) $\sin x=\frac{1}{2}>0$ — подходят. В точках $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ (IV четверть) $\sin x=-\frac{1}{2}<0$ — не подходят.

Значит, $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Длина отрезка $\left[-\frac{13\pi }{2};-5\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $-\frac{13\pi }{2}=-6\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-5\pi =-6\pi +\pi$ — левая точка. Дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую $-6\pi$ и верхнюю $-\frac{11\pi }{2}$ до левой, то есть проходит IV, I и II четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ — точка в I четверти, на дуге она одна: $-6\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{35\pi }{6}$. Соседние значения серии $-\frac{47\pi }{6}<-\frac{13\pi }{2}$ и $-\frac{23\pi }{6}>-5\pi$ на отрезок не попадают.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{35\pi }{6}$.