ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех действительных $x$, ограничений нет.

Раскроем левую часть по формуле синуса суммы, учитывая $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$:

$$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin 2x\cos \frac{\pi }{6}+\cos 2x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Подставим в уравнение:

$$2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1;$$

$$\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-\cos x=\sqrt{3}\sin 2x-1.$$

Слагаемые $\sqrt{3}\sin 2x$ в обеих частях сокращаются:

$$\cos 2x-\cos x+1=0.$$

Чтобы осталась одна функция $\cos x$, применим формулу косинуса двойного угла в виде $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:

$$2{\cos }^{2}x-1-\cos x+1=0\iff 2{\cos }^{2}x-\cos x=0\iff \cos x\left(2\cos x-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $4\pi$ — правая точка. Дуга идёт от верхней точки против часовой стрелки через левую $3\pi$ и нижнюю $\frac{7\pi }{2}$ до правой, то есть проходит II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхняя и нижняя точки. На дуге это $\frac{5\pi }{2}$ (начало отрезка, входит) и $\frac{7\pi }{2}$; соседние значения $\frac{3\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}>4\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в I четверти, дуга её не содержит: $\frac{7\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{3}>4\pi$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в IV четверти: $4\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{11\pi }{3}$; соседние значения $\frac{5\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>4\pi$.

На отрезке лежат $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{3}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$, $\frac{11\pi }{3}$.