ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Показательные выражения определены при всех $x$, ограничений нет.

Заметим, что $81=9^2$, поэтому по свойству степени

$$81^{\cos x}={\left(9^2\right)}^{\cos x}={\left(9^{\cos x}\right)}^2.$$

Сделаем замену $t=9^{\cos x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Уравнение принимает вид

$$t^2-12t+27=0.$$

$$D=12^2-4\cdot 27=144-108=36=6^2,t_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2},t_1=9,t_2=3.$$

Оба значения положительны, поэтому оба подходят. Сделаем обратную замену и запишем правые части как степени девятки:

$$[\begin{array}{l}{9}^{\cos x}=9^1,\\ 9^{\cos x}=9^{\frac{1}{2}}.\end{array}$$

Функция $y=9^t$ строго возрастает (основание $9>1$), поэтому каждое значение она принимает ровно один раз, и равенство степеней равносильно равенству показателей:

$$[\begin{array}{l}\cos x=1,\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $-4\pi$ — правая точка окружности (там же, где $0$). Конец $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга идёт от правой точки против часовой стрелки через верхнюю $-\frac{7\pi }{2}$ и левую $-3\pi$ до нижней, то есть проходит I, II и III четверти.

Серия $x=2\pi k$ — правая точка; на дуге это её начало $-4\pi$, оно входит в отрезок.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в I четверти: $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ — точка в IV четверти, дуга её не содержит: соседние значения $-\frac{13\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{7\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$.

Проверим, например, вторую серию двойным неравенством (делим на $\pi$, вычитаем $\frac{1}{3}$, делим на $2$):

$$-4⩽\frac{1}{3}+2k⩽-\frac{5}{2}\iff -\frac{13}{6}⩽k⩽-\frac{17}{12},$$

подходит только $k=-2$, то есть $x=-\frac{11\pi }{3}$.

На отрезке лежат $-4\pi$ и $-\frac{11\pi }{3}$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$, $-\frac{11\pi }{3}$.