ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех действительных $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$. По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ — так всё уравнение будет записано через одну функцию $\sin x$:

$$2\left(1-{\sin }^{2}x\right)-\sqrt{2}\sin x-2=0;$$

$$2-2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x-2=0;$$

$$-2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x=0.$$

Умножим на $-1$ и вынесем $\sin x$ за скобку:

$$\sin x\left(2\sin x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение на окружности даёт две точки — в IV и в III четвертях: $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ и $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi$ — левая точка. Дуга идёт от нижней точки против часовой стрелки через правую точку $2\pi$ и верхнюю $\frac{5\pi }{2}$ до левой точки $3\pi$, то есть проходит IV, I и II четверти.

Серия $x=\pi k$ — правая и левая точки окружности. На дуге это $2\pi$ и $3\pi$; число $3\pi$ — конец отрезка, оно входит, так как отрезок замкнут.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ — точка в IV четверти. На дуге она встречается один раз: $2\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ — точка в III четверти, через которую дуга не проходит: соседние значения $\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{13\pi }{4}>3\pi$.

На отрезке лежат $\frac{7\pi }{4}$, $2\pi$, $3\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{4}$, $2\pi$, $3\pi$.