ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех действительных $x$, ограничений нет.

Раскроем первое слагаемое по формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x.$$

Второе слагаемое упростим по формуле приведения: $\sin (\pi -x)=\sin x$.

Подставим в уравнение:

$$2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)-2\sqrt{2}\sin x=0;$$

$$\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0;$$

$$\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}\sin x=0\iff \cos x-\sin x=0.$$

Получилось однородное уравнение первой степени. Проверим, можно ли разделить его на $\cos x$. Если $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, ведь ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, у решений $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ — равносильный переход:

$$1-\mathrm{tg}x=0\iff \mathrm{tg}x=1.$$

Отсюда $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Длина отрезка $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}$ — меньше полного оборота, поэтому отберём корни на единичной окружности.

Начало отрезка $3\pi$ отвечает левой точке окружности (там же, где $\pi$), конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точке. Дуга идёт от $3\pi$ против часовой стрелки через нижнюю точку $\frac{7\pi }{2}$ и правую точку $4\pi$ до верхней: она проходит III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки — в I и III четвертях. Обе лежат на дуге по одному разу: в III четверти это $3\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{13\pi }{4}$, в I четверти — $4\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{17\pi }{4}$.

Проверим двойным неравенством (делим на $\pi$ и вычитаем $\frac{1}{4}$):

$$3⩽\frac{1}{4}+k⩽\frac{9}{2}\iff \frac{11}{4}⩽k⩽\frac{17}{4},$$

то есть $k=3$ и $k=4$ — те же корни $\frac{13\pi }{4}$ и $\frac{17\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{4}$, $\frac{17\pi }{4}$.