ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Оба множителя определены при всех действительных $x$, поэтому ограничений нет. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}2x^2-15x+18=0,\\ \sin x\cdot \sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)+0,25=0.\end{array}$$

Решим первое уравнение — это обычное квадратное уравнение:

$$D=(-15{)}^2-4\cdot 2\cdot 18=225-144=81=9^2,$$

$$x_{1,2}=\frac{15\pm 9}{4},x_1=6,x_2=\frac{3}{2}.$$

Во втором уравнении упростим $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$. Синус — нечётная функция, поэтому $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, а по формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$. Итак, $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$, и уравнение принимает вид

$$-\sin x\cos x+\frac{1}{4}=0\iff \sin x\cos x=\frac{1}{4}.$$

Умножим обе части на $2$ и применим формулу синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$:

$$\sin 2x=\frac{1}{2}.$$

Решаем простейшее уравнение относительно $2x$ и делим на $2$ (период тоже делится на $2$):

$$[\begin{array}{l}2x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ 2x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{12}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Решения уравнения: $x=6$, $x=\frac{3}{2}$, $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$, $x=\frac{5\pi }{12}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни на отрезке $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$. Сначала разберёмся с двумя «обычными» числами — их нужно сравнить с концами отрезка.

Число $\frac{3}{2}$. Так как $\pi >3$, то $\frac{\pi }{2}>\frac{3}{2}$, то есть $\frac{3}{2}$ лежит левее отрезка и не подходит.

Число $6$. Левый конец $\frac{\pi }{2}<2<6$. Правый конец: $2\pi >2\cdot 3=6$, так как $\pi >3$. Значит, $\frac{\pi }{2}<6<2\pi$, и корень $6$ принадлежит отрезку.

Серия $x=\frac{\pi }{12}+\pi k$. Разделим двойное неравенство на $\pi$ и вычтем $\frac{1}{12}$:

$$\frac{1}{2}⩽\frac{1}{12}+k⩽2\iff \frac{5}{12}⩽k⩽\frac{23}{12}.$$

Подходит только $k=1$, корень $\frac{\pi }{12}+\pi =\frac{13\pi }{12}$.

Серия $x=\frac{5\pi }{12}+\pi k$. Аналогично:

$$\frac{1}{2}⩽\frac{5}{12}+k⩽2\iff \frac{1}{12}⩽k⩽\frac{19}{12}.$$

Подходит только $k=1$, корень $\frac{5\pi }{12}+\pi =\frac{17\pi }{12}$.

Отметим на числовой прямой отрезок и попавшие на него корни.

На отрезке $\left[\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ лежат $\frac{13\pi }{12}$, $\frac{17\pi }{12}$ и $6$.

Ответ: а) $\frac{3}{2}$, $6$, $\frac{\pi }{12}+\pi k$, $\frac{5\pi }{12}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{12}$, $\frac{17\pi }{12}$, $6$.