ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Обе функции в уравнении определены при всех действительных $x$, поэтому ограничений на $x$ нет.

Упростим второе слагаемое по формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$:

$$\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{x}{2}\right)=\sin \frac{x}{2}.$$

Теперь в уравнении есть аргументы $x$ и $\frac{x}{2}$. Чтобы перейти к одному аргументу, запишем $x=2\cdot \frac{x}{2}$ и применим формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$:

$$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}.$$

Обе замены — тождества, верные при всех $x$, поэтому получаем уравнение, равносильное исходному:

$$2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-\sqrt{2}\sin \frac{x}{2}=0.$$

Вынесем за скобку общий множитель $\sin \frac{x}{2}$:

$$\sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\sin \frac{x}{2}=0,\\ \cos \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $\frac{x}{2}=\pi k$, то есть $x=2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения $\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$. Умножим на $2$: $x=\pm \frac{\pi }{2}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$. Заметим, что при умножении на $2$ удваивается и период: получается $4\pi k$, а не $2\pi k$.

б) Длина отрезка $\left[4\pi ;7\pi \right]$ равна $3\pi$, это больше полного оборота, поэтому отберём корни двойными неравенствами для каждой серии.

Серия $x=2\pi k$. Разделим неравенство на $2\pi >0$:

$$4\pi ⩽2\pi k⩽7\pi \iff 2⩽k⩽\frac{7}{2}.$$

Подходят $k=2$ и $k=3$, им соответствуют корни $4\pi$ и $6\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+4\pi k$. Разделим на $\pi$, вычтем $\frac{1}{2}$ и разделим на $4$:

$$4⩽\frac{1}{2}+4k⩽7\iff \frac{7}{2}⩽4k⩽\frac{13}{2}\iff \frac{7}{8}⩽k⩽\frac{13}{8}.$$

Подходит только $k=1$, корень $\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{9\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{2}+4\pi k$. Действуем так же:

$$4⩽-\frac{1}{2}+4k⩽7\iff \frac{9}{2}⩽4k⩽\frac{15}{2}\iff \frac{9}{8}⩽k⩽\frac{15}{8}.$$

Целых $k$ здесь нет: соседние значения серии $\frac{7\pi }{2}<4\pi$ и $\frac{15\pi }{2}>7\pi$ лежат по разные стороны от отрезка.

Значит, на отрезке $\left[4\pi ;7\pi \right]$ лежат корни $4\pi$, $\frac{9\pi }{2}$, $6\pi$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{\pi }{2}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $4\pi$, $\frac{9\pi }{2}$, $6\pi$.