ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$$2{\sin }^{3}x+\sin x+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left(1-{\sin }^{2}x\right)\iff 2{\sin }^{3}x+\sin x+2\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}{\sin }^{2}x.$$

Перенесём всё в левую часть; слагаемые $2\sqrt{2}$ сокращаются:

$$2{\sin }^{3}x+2\sqrt{2}{\sin }^{2}x+\sin x=0\iff \sin x\left(2{\sin }^{2}x+2\sqrt{2}\sin x+1\right)=0.$$

Выражение в скобках — полный квадрат: ${\left(\sqrt{2}\sin x\right)}^2=2{\sin }^{2}x$, удвоенное произведение $2\cdot \sqrt{2}\sin x\cdot 1=2\sqrt{2}\sin x$. Поэтому

$$\sin x{\left(\sqrt{2}\sin x+1\right)}^2=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ двойными неравенствами: подставим серию, разделим все части на $\pi$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽k⩽-1\Rightarrow k=-2,k=-1,$$

получаем $x=-2\pi$ и $x=-\pi$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽-\frac{1}{4}+2k⩽-1\iff -\frac{9}{4}⩽2k⩽-\frac{3}{4}\iff -\frac{9}{8}⩽k⩽-\frac{3}{8}.$$

Подходит $k=-1$, тогда $x=-\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{9\pi }{4}$.

Серия $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$:

$$-\frac{5}{2}⩽-\frac{3}{4}+2k⩽-1\iff -\frac{7}{4}⩽2k⩽-\frac{1}{4}\iff -\frac{7}{8}⩽k⩽-\frac{1}{8}.$$

Между $-\frac{7}{8}$ и $-\frac{1}{8}$ целых чисел нет, корней из этой серии на отрезке нет.

На отрезке лежат корни $-\frac{9\pi }{4}$, $-2\pi$, $-\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{9\pi }{4}$, $-2\pi$, $-\pi$.