ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Применим формулу понижения степени ${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ к каждому множителю левой части:

$${\sin }^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1-\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)}{2},{\sin }^2\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1-\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)}{2}.$$

По формулам приведения $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ (косинус чётен) и $\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$. Тогда левая часть равна

$$2\cdot \frac{1-\sin x}{2}\cdot \frac{1+\sin x}{2}=\frac{1-{\sin }^{2}x}{2}=\frac{{\cos }^{2}x}{2}.$$

Здесь мы воспользовались разностью квадратов и основным тригонометрическим тождеством. Уравнение принимает вид

$$\frac{{\cos }^{2}x}{2}={\cos }^{4}x\iff {\cos }^{2}x-2{\cos }^{4}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(1-2{\cos }^{2}x\right)=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$, поэтому $1-2{\cos }^{2}x=-\cos 2x$:

$${\cos }^{2}x\cdot \cos 2x=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos 2x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ 2x=\frac{\pi }{2}+\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отберём корни на отрезке $[-3\pi ;-2\pi ]$ двойными неравенствами: подставим серию, разделим все части на $\pi$ и найдём целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$-3⩽\frac{1}{2}+k⩽-2\iff -\frac{7}{2}⩽k⩽-\frac{5}{2}.$$

Подходит только $k=-3$, тогда $x=\frac{\pi }{2}-3\pi =-\frac{5\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$. Умножим неравенство на $4$, чтобы избавиться от дробей:

$$-3⩽\frac{1}{4}+\frac{k}{2}⩽-2\iff -12⩽1+2k⩽-8\iff -\frac{13}{2}⩽k⩽-\frac{9}{2}.$$

Подходят $k=-6$ и $k=-5$:

$$x=\frac{\pi }{4}-3\pi =-\frac{11\pi }{4},x=\frac{\pi }{4}-\frac{5\pi }{2}=-\frac{9\pi }{4}.$$

На отрезке лежат корни $-\frac{11\pi }{4}$, $-\frac{5\pi }{2}$, $-\frac{9\pi }{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{4}$, $-\frac{5\pi }{2}$, $-\frac{9\pi }{4}$.