ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По основному тригонометрическому тождеству и формуле разности квадратов

$${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=(1-\cos x)(1+\cos x).$$

Перенесём правую часть влево:

$$(2\sin x-\cos x)(1+\cos x)-(1-\cos x)(1+\cos x)=0.$$

Вынесем общий множитель $1+\cos x$ за скобки:

$$(1+\cos x)\left(2\sin x-\cos x-1+\cos x\right)=0\iff (1+\cos x)(2\sin x-1)=0.$$

Делить на $1+\cos x$ нельзя: он может обращаться в ноль, и тогда мы потеряем корни. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-1,\\ \sin x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{17\pi }{2};\frac{19\pi }{2}\right]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $\frac{17\pi }{2}$ до $\frac{19\pi }{2}$ и точки серий.

Концы отрезка со знаменателем $6$: $\frac{17\pi }{2}=\frac{51\pi }{6}$, $\frac{19\pi }{2}=\frac{57\pi }{6}$.

Из серии $x=\pi +2\pi k$ при $k=4$ получаем $9\pi =\frac{54\pi }{6}$ — он лежит на отрезке. Соседние значения $7\pi <\frac{17\pi }{2}$ и $11\pi >\frac{19\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: при $k=4$ получаем $\frac{49\pi }{6}<\frac{51\pi }{6}$, а при $k=5$ уже $\frac{61\pi }{6}>\frac{57\pi }{6}$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ при $k=4$ получаем $\frac{53\pi }{6}$, и $\frac{51\pi }{6}⩽\frac{53\pi }{6}⩽\frac{57\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{41\pi }{6}$ и $\frac{65\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $\frac{53\pi }{6}$ и $9\pi$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{53\pi }{6}$, $9\pi$.