ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: сдвиг аргумента на $\pi$ меняет знак синуса. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим:

$$1-2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x-1=0\iff -2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x=0\iff \sin x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $2\pi$ до $\frac{7\pi }{2}$ и точки всех серий.

Концы отрезка со знаменателем $6$: $2\pi =\frac{12\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}=\frac{21\pi }{6}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $2\pi$ и $3\pi$: соседние значения $\pi <2\pi$ и $4\pi >\frac{7\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: при $k=1$ получаем $\frac{5\pi }{3}<2\pi$, а при $k=2$ уже $\frac{11\pi }{3}=\frac{22\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ при $k=2$ получаем $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}$, и $\frac{12\pi }{6}⩽\frac{20\pi }{6}⩽\frac{21\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{4\pi }{3}$ и $\frac{16\pi }{3}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $2\pi$, $3\pi$, $\frac{10\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$, $3\pi$, $\frac{10\pi }{3}$.