ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\sin \frac{\pi }{4}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)=\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\sin x$, поэтому $2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-2\sqrt{2}\sin x$.

Подставим в уравнение:

$$\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0\iff -\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=0\iff \sin x+\cos x=0.$$

Это однородное уравнение первой степени. Покажем, что $\cos x\ne 0$: если бы $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, а синус и косинус не могут одновременно равняться нулю, ведь ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Поэтому разделим обе части на $\cos x\ne 0$ — переход равносильный:

$$\mathrm{tg}x+1=0\iff \mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $-4\pi$ до $-\frac{5\pi }{2}$ и точки серии.

Концы отрезка со знаменателем $4$: $-4\pi =-\frac{16\pi }{4}$, $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{10\pi }{4}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ при $k=-3$ получаем $-\frac{13\pi }{4}$, и $-\frac{16\pi }{4}⩽-\frac{13\pi }{4}⩽-\frac{10\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{17\pi }{4}<-\frac{16\pi }{4}$ и $-\frac{9\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежит единственный корень $-\frac{13\pi }{4}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{4}$.