ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим слагаемые:

• по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$, поэтому $2\sin 2x=4\sin x\cos x$;
• $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, а по формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$;
• по формуле приведения $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos x$ (синус нечётен).

Уравнение принимает вид

$$4\sin x\cos x-2\sqrt{5}\sin x=-2\sqrt{3}\cos x+\sqrt{15}.$$

Перенесём всё в левую часть и учтём, что $\sqrt{15}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$:

$$4\sin x\cos x+2\sqrt{3}\cos x-2\sqrt{5}\sin x-\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$$2\cos x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0\iff \left(2\sin x+\sqrt{3}\right)\left(2\cos x-\sqrt{5}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos x=\frac{\sqrt{5}}{2}.\end{array}$$

Второе уравнение решений не имеет: $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, поэтому $\frac{\sqrt{5}}{2}>1$, а косинус не бывает больше единицы. Из первого уравнения

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $\frac{7\pi }{2}$ до $5\pi$ и точки обеих серий.

Концы отрезка со знаменателем $6$: $\frac{7\pi }{2}=\frac{21\pi }{6}$, $5\pi =\frac{30\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ при $k=2$ получаем $\frac{11\pi }{3}=\frac{22\pi }{6}$, и $\frac{21\pi }{6}⩽\frac{22\pi }{6}⩽\frac{30\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{5\pi }{3}<\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{3}>5\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: при $k=2$ получаем $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}$, а при $k=3$ уже $\frac{16\pi }{3}>5\pi$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{11\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{3}$.