ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Найдём ограничения: знаменатель не равен нулю,

$$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$: у угла $\frac{3\pi }{2}$ косинус меняется на кофункцию, а угол $\frac{3\pi }{2}-x$ при малых $x$ лежит в третьей четверти, где косинус отрицателен. Уравнение принимает вид

$$\frac{\sqrt{3}}{\cos x}=-4\sin x.$$

При $\cos x\ne 0$ умножим обе части на $\cos x$ — на области определения это равносильный переход:

$$\sqrt{3}=-4\sin x\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $2\sin x\cos x=\sin 2x$, поэтому $-4\sin x\cos x=-2\sin 2x$:

$$\sqrt{3}=-2\sin 2x\iff \sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Решим простейшее уравнение:

$$[\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ 2x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Проверим ограничение. Если бы $\cos x=0$, то $\sin 2x=2\sin x\cos x=0\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит, во всех найденных точках $\cos x\ne 0$, и обе серии подходят.

б) Длина отрезка $\left[-\frac{17\pi }{4};-\frac{13\pi }{4}\right]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $-\frac{17\pi }{4}$ до $-\frac{13\pi }{4}$ и точки обеих серий.

Для сравнения запишем концы отрезка со знаменателем $12$: $-\frac{17\pi }{4}=-\frac{51\pi }{12}$, $-\frac{13\pi }{4}=-\frac{39\pi }{12}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$ при $k=-4$ получаем $-\frac{25\pi }{6}=-\frac{50\pi }{12}$, и $-\frac{51\pi }{12}⩽-\frac{50\pi }{12}⩽-\frac{39\pi }{12}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{31\pi }{6}$ и $-\frac{19\pi }{6}=-\frac{38\pi }{12}>-\frac{39\pi }{12}$ лежат вне отрезка.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ при $k=-3$ получаем $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{40\pi }{12}$, и $-\frac{51\pi }{12}⩽-\frac{40\pi }{12}⩽-\frac{39\pi }{12}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{13\pi }{3}=-\frac{52\pi }{12}<-\frac{51\pi }{12}$ и $-\frac{7\pi }{3}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{25\pi }{6}$ и $-\frac{10\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{25\pi }{6}$, $-\frac{10\pi }{3}$.