ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Выразим все степени через $3^x$ по свойствам степени ${\left(a^n\right)}^m=a^{nm}$ и $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$:

$$27^x={\left(3^3\right)}^x={\left(3^x\right)}^3,4\cdot 3^{x+2}=4\cdot 9\cdot 3^x=36\cdot 3^x,3^{5-x}=\frac{3^5}{3^x}=\frac{243}{3^x}.$$

Сделаем замену $t=3^x$, где $t>0$:

$$t^3-36t+\frac{243}{t}=0.$$

Умножим обе части на $t$. Так как $t>0$, это равносильный переход:

$$t^4-36t^2+243=0.$$

Получили биквадратное уравнение. Обозначим $u=t^2>0$:

$$u^2-36u+243=0,D=36^2-4\cdot 243=1296-972=324=18^2.$$

$$u_1=\frac{36+18}{2}=27,u_2=\frac{36-18}{2}=9.$$

Оба значения положительны. Вернёмся к $t$, помня, что $t>0$:

$$t^2=27\Rightarrow t=3\sqrt{3}=3^{\frac{3}{2}};t^2=9\Rightarrow t=3.$$

Сделаем обратную замену. Функция $y=3^x$ строго возрастает, поэтому равенство степеней с основанием $3$ равносильно равенству показателей:

$$3^x=3^{\frac{3}{2}}\iff x=\frac{3}{2};3^x=3\iff x=1.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[{\log }_{7}4;{\log }_{7}16\right]$. Функция $y={\log }_{7}u$ возрастает, так как основание $7>1$, поэтому большему аргументу соответствует больший логарифм.

Корень $x=1$. Запишем $1={\log }_{7}7$. Так как $4<7<16$, то

$${\log }_{7}4<{\log }_{7}7<{\log }_{7}16,$$

и корень $1$ лежит на отрезке.

Корень $x=\frac{3}{2}$. По свойству логарифма степени

$$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}{\log }_{7}7={\log }_7{7}^{\frac{3}{2}}={\log }_7\left(7\sqrt{7}\right).$$

Сравним $7\sqrt{7}$ и $16$. Оба числа положительны, поэтому сравним их квадраты: ${\left(7\sqrt{7}\right)}^2=343$, $16^2=256$. Так как $343>256$, то $7\sqrt{7}>16$, а значит,

$$\frac{3}{2}={\log }_7\left(7\sqrt{7}\right)>{\log }_{7}16.$$

Корень $\frac{3}{2}$ лежит правее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $1$, $\frac{3}{2}$; б) $1$.