ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем $2\cos x$ из первого и последнего:

$$2\cos x-2{\cos }^{3}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\iff 2\cos x\left(1-{\cos }^{2}x\right)-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ имеем $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$:

$$2\cos x{\sin }^{2}x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Делить на ${\sin }^{2}x$ нельзя — так потеряются корни, в которых синус равен нулю. Пользуемся тем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности: отметим дугу от $-\frac{7\pi }{2}$ до $-2\pi$ и точки серий.

Проверим каждую серию. Концы отрезка со знаменателем $6$: $-\frac{21\pi }{6}$ и $-\frac{12\pi }{6}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ и $-2\pi$: соседние значения $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: при $k=-2$ получаем $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}$, а при $k=-1$ уже $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ при $k=-1$ получаем $-\frac{13\pi }{6}$, и $-\frac{21\pi }{6}⩽-\frac{13\pi }{6}⩽-\frac{12\pi }{6}$. Соседние значения $-\frac{25\pi }{6}$ и $-\frac{\pi }{6}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-3\pi$, $-\frac{13\pi }{6}$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$, $-\frac{13\pi }{6}$, $-2\pi$.