ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Поэтому сначала упростим числитель и знаменатель по отдельности.

Числитель. По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}+2x\right)=-\cos 2x$: у угла $\frac{3\pi }{2}$ синус меняется на кофункцию, а угол $\frac{3\pi }{2}+2x$ при малых $x$ лежит в четвёртой четверти, где синус отрицателен. По формуле косинуса двойного угла $-\cos 2x=-\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)={\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x$. Тогда

$${\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x={\cos }^{4}x-{\cos }^{2}x={\cos }^{2}x\left({\cos }^{2}x-1\right)=-{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x.$$

Знаменатель. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos \left(-\frac{\pi }{8}-\frac{x}{4}\right)=\cos \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi }{8}\right)$. Обозначим $\alpha =\frac{x}{4}+\frac{\pi }{8}$ и воспользуемся тождеством ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$:

$$2\left(1-{\sin }^2\alpha \right)-5\sin \alpha -2=-2{\sin }^2\alpha -5\sin \alpha =-\sin \alpha (2\sin \alpha +5).$$

Уравнение равносильно системе

$$\{\begin{array}{l}{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x=0,\\ \sin \alpha (2\sin \alpha +5)\ne 0.\end{array}$$

Разберёмся со знаменателем. Так как $\sin \alpha ⩾-1$, то $2\sin \alpha +5⩾3>0$, и этот множитель в ноль не обращается. Остаётся условие

$$\sin \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi }{8}\right)\ne 0\iff \frac{x}{4}+\frac{\pi }{8}\ne \pi n\iff x\ne -\frac{\pi }{2}+4\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь числитель. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Вторую серию $\cos x=0$ мы записали двумя сериями с периодом $2\pi$, чтобы удобно было исключать запрещённые точки.

Исключим точки $x=-\frac{\pi }{2}+4\pi n$. На единичной окружности им соответствует точка $\frac{3\pi }{2}$ (так как $-\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}-2\pi$), то есть в них $\sin x=-1$.

В серии $x=\pi k$ синус равен нулю, а в серии $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ синус равен $1$, поэтому запрещённых точек в них нет — обе серии подходят целиком.

В серии $x=\frac{3\pi }{2}+2\pi k$ найдём, какие значения совпадают с запрещёнными:

$$\frac{3\pi }{2}+2\pi k=-\frac{\pi }{2}+4\pi n\iff 2\pi +2\pi k=4\pi n\iff k+1=2n.$$

Значит, запрещены нечётные $k$, а чётные $k=2m$ подходят. Остаётся $x=\frac{3\pi }{2}+4\pi m$, $m\in \mathbb{Z}$.

Итак, решения уравнения:

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{2}+4\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $[\pi ;4\pi ]$ равна $3\pi >2\pi$, поэтому отбираем корни двойными неравенствами. Подставляем серию, делим все части на $\pi$ и ищем целые $k$.

Серия $x=\pi k$:

$$1⩽k⩽4\Rightarrow k=1,2,3,4,$$

получаем $x=\pi$, $2\pi$, $3\pi$, $4\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$:

$$1⩽\frac{1}{2}+2k⩽4\iff \frac{1}{2}⩽2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{1}{4}⩽k⩽\frac{7}{4}.$$

Подходит $k=1$, $x=\frac{5\pi }{2}$.

Серия $x=\frac{3\pi }{2}+4\pi k$:

$$1⩽\frac{3}{2}+4k⩽4\iff -\frac{1}{2}⩽4k⩽\frac{5}{2}\iff -\frac{1}{8}⩽k⩽\frac{5}{8}.$$

Подходит $k=0$, $x=\frac{3\pi }{2}$.

Обратим внимание: точка $\frac{7\pi }{2}$ тоже лежит на отрезке и обнуляет числитель, но при $x=\frac{7\pi }{2}$ знаменатель равен нулю ($\alpha =\pi$), поэтому корнем она не является.

На отрезке лежат корни $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$, $\frac{5\pi }{2}$, $3\pi$, $4\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{2}+4\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$, $2\pi$, $\frac{5\pi }{2}$, $3\pi$, $4\pi$.