ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По свойству степени $81^{\sin x}={\left(9^2\right)}^{\sin x}={\left(9^{\sin x}\right)}^2$. Сделаем замену $t=9^{\sin x}$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$; более того, так как $-1⩽\sin x⩽1$, то $\frac{1}{9}⩽t⩽9$. Уравнение принимает вид

$$27t^2-12t+1=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-12{)}^2-4\cdot 27\cdot 1=144-108=36=6^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{12+6}{54}=\frac{1}{3},t_2=\frac{12-6}{54}=\frac{1}{9}.$$

Оба значения лежат в промежутке $\left[\frac{1}{9};9\right]$. Сделаем обратную замену. Показательная функция $y=9^u$ строго монотонна, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей.

Первый случай:

$$9^{\sin x}=\frac{1}{9}=9^{-1}\iff \sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Второй случай:

$$9^{\sin x}=\frac{1}{3}=9^{-\frac{1}{2}}\iff \sin x=-\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ двойными неравенствами: подставим серию, разделим на $\pi$ и найдём целые $k$.

Серия $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$:

$$2⩽-\frac{1}{2}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{5}{2}⩽2k⩽4\iff \frac{5}{4}⩽k⩽2.$$

Подходит $k=2$, тогда $x=-\frac{\pi }{2}+4\pi =\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$:

$$2⩽-\frac{1}{6}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{13}{6}⩽2k⩽\frac{11}{3}\iff \frac{13}{12}⩽k⩽\frac{11}{6}.$$

Между $\frac{13}{12}$ и $\frac{11}{6}$ целых чисел нет, корней из этой серии на отрезке нет.

Серия $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$:

$$2⩽-\frac{5}{6}+2k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{17}{6}⩽2k⩽\frac{13}{3}\iff \frac{17}{12}⩽k⩽\frac{13}{6}.$$

Подходит $k=2$, тогда $x=-\frac{5\pi }{6}+4\pi =\frac{19\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{19\pi }{6}$ и $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{19\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{2}$.