ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Найдём ограничения: знаменатели не равны нулю, то есть

$$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

Заметим, что $\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\left(\frac{1}{\cos x}\right)}^2$. Сделаем замену $t=\frac{1}{\cos x}$:

$$t^2-3t+2=0.$$

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$, поэтому

$$(t-1)(t-2)=0\iff [\begin{array}{l}t=1,\\ t=2.\end{array}$$

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\frac{1}{\cos x}=1,\\ \frac{1}{\cos x}=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=1,\\ \cos x=\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Во всех найденных точках $\cos x\ne 0$, так что ограничение выполнено и все серии подходят.

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ с помощью двойных неравенств. Для каждой серии подставим $x$ в неравенство, разделим все части на $\pi >0$ и найдём целые $k$.

Серия $x=2\pi k$:

$$-3\pi ⩽2\pi k⩽-\frac{3\pi }{2}\iff -\frac{3}{2}⩽k⩽-\frac{3}{4}.$$

Единственное целое значение $k=-1$, ему соответствует $x=-2\pi$.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$:

$$-3⩽\frac{1}{3}+2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{10}{3}⩽2k⩽-\frac{11}{6}\iff -\frac{5}{3}⩽k⩽-\frac{11}{12}.$$

Подходит только $k=-1$, тогда $x=\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{5\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$:

$$-3⩽-\frac{1}{3}+2k⩽-\frac{3}{2}\iff -\frac{8}{3}⩽2k⩽-\frac{7}{6}\iff -\frac{4}{3}⩽k⩽-\frac{7}{12}.$$

Подходит только $k=-1$, тогда $x=-\frac{\pi }{3}-2\pi =-\frac{7\pi }{3}$.

На отрезке лежат корни $-\frac{7\pi }{3}$, $-2\pi$, $-\frac{5\pi }{3}$.

Ответ: а) $2\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{3}$, $-2\pi$, $-\frac{5\pi }{3}$.