ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin (x-\pi )=-\sin x$: сдвиг аргумента на $\pi$ меняет знак синуса.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, поэтому $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$.

Подставим и перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x-\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}+2\sin x=0.$$

Сгруппируем первое слагаемое с последним, а второе с третьим:

$$2\sin x(\sin x+1)-\sqrt{2}(\sin x+1)=0\iff (\sin x+1)\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=-1,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Отметим дугу от $-\pi$ до $\frac{\pi }{2}$ и точки серий из пункта а).

Проверим серии.

Из серии $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ при $k=0$ получаем $-\frac{\pi }{2}$, он лежит на отрезке. Соседние значения $-\frac{5\pi }{2}<-\pi$ и $\frac{3\pi }{2}>\frac{\pi }{2}$ — вне отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ при $k=0$ получаем $\frac{\pi }{4}$, и $-\pi ⩽\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}$. Соседние значения $-\frac{7\pi }{4}<-\pi$ и $\frac{9\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{5\pi }{4}<-\pi$, а следующее значение $\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат корни $-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{4}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{4}$.